题目

题型：不详难度：来源：

在△ABC中，三个内角分别为A，B，C，且sin(B+

π

6

)=2cosB．
（1）若cosC=

6

3

，AC=3，求A、B．
（2）若A∈(0，

π

3

)，且cos(B-A)=

4

5

，求sinA．

答案

（1）在△ABC中，由sin(B+

π

6

)=2cosB 可得 sinB×

3

2

+cosB×

1

2

=2cosB，∴sinB=

3

cosB，∴tanB=

3

，B=

π

3

．
由cosC=

6

3

，得 sinC=

3

3

．
∴cosA=-cos（B+C）=-cosBcosC+sinBsinC=-

1

2

×

6

3

+

3

2

×

3

3

=

3- 6

3

，∴A=arccos

3- 6

3

．
（2）若A∈(0，

π

3

)，且cos(B-A)=

4

5

，则有 cos（

π

3

-A）=

4

5

，∴sin（

π

3

-A）=

3

5

．
∴sin（-A）=sin[（

π

3

-A）-

π

3

）=sin（

π

3

-A）cos

π

3

-cos（

π

3

-A）sin

π

3

=

3

5

×

1

2

-

4

5

×

3

2

=

3-4 3

10

，
故 sinA=

-3+4 3

10

．