题目

题型：解答题难度：一般来源：朝阳区一模

已知

a

=(cosα，sinα)，

b

=(cosβ，sinβ)，0＜α＜β＜π
（I）求|

a

|的值；
（II）求证：

a

+

b

与

a

-

b

互相垂直；
（III）设|k

a

+

b

|=|

a

-k

b

|，k∈R且k≠0，求β-α的值．

答案

（I）∵

a

=(cosα，sinα)，
∴|

a

| =

cos2α+sin2α

=1．（3分）
（II）证明：∵（

a

+

b

）•（

a

-

b

）
=（cosα+cosβ）（cosα-cosβ）+（sinα+sinβ）（sinα-sinβ）（6分）
=cos²α-cos²β+sin²α-sin²β
=0，
∴（

a

+

b

）⊥（

a

-

b

）．（8分）
（III）∵k

a

+

b

=(kcosαβ，ksinα+sinβ)，
∴

a

-k

b

=（cosα-kcosβ，sinα-ksinβ），（10分）
∴|k

a

+

b

|  =

(kcosα+cosβ)2+(ksinα+sinβ)2

=

k2+1+2kcos(β-α)

，（12分）
|

a

-k

b

|  =

(cosα-kcosβ)2+(sinα-ksinβ)2

=

1-2kcos(β-α)+k2

，
∵|k

a

+

b

|=|

a

-k

b

|，
∴

k2+1+2kcos(β-α)

=

1-2kcos(β-α)+k2

，
整理，得2kcos（β-α）=-2kcos（β-α）
又k≠0，∴cos（β-α）=0
∵0＜α＜β＜π，
∴0＜β-α＜π，
∴β-α=

π

2

．（14分）