题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f(x)=2sin2(

π

4

+x)-

3

cos2x，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求使f（x）≥0成立的x的取值集合；
（3）若不等式|f（x）-m|＜2在x∈[

π

4

，

π

2

]上恒成立，求实数m的取值范围．

答案

f(x)=[1-cos(

π

2

+2x)]-

3

cos2x（1分）
=1+sin2x-

3

cos2x（2分）
=2sin(2x-

π

3

)+1，（3分）
（1）T=

2π

2

=π；（4分）
（2）2sin(2x-

π

3

)+1≥0⇒sin(2x-

π

3

)≥-

1

2

（5分）
∴2kπ-

π

6

≤2x-

π

3

≤2kπ+

5π

6

，k∈Z（6分）
∴kπ+

π

12

≤x≤kπ+

7π

12

，k∈Z，
∴使f（x）≥0成立的x的取值集合为{x|kπ+

π

12

≤x≤kπ+

7π

12

，k∈Z}；（7分）
（3）∵x∈[

π

4

，

π

2

]，
∴2x-

π

3

∈[

π

6

，

2π

3

]，
∴2≤1+2sin(2x-

π

3

)≤3，（8分）
∴[f（x）]_max=3，[f（x）]_min=2，
∴|f（x）-m|＜2在x∈[

π

4

，

π

2

]上恒成立，
即f（x）-2＜m＜f（x）+2在x∈[

π

4

，

π

2

]上恒成立，（9分）
∴[f（x）]_max-2＜m＜[f（x）]_min+2，
∴1＜m＜4，
∴实数m的取值范围为[1，4]．（10分）