题目

题型：不详难度：来源：

已知f(x)=

3

sin

x

4

cos

x

4

+cos2

x

4

+

1

2

．
（1）求f（x）的周期及其图象的对称中心；
（2）△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，满足（2a-c）cosB=bcosC，求f（B）的值．

答案

（1）∵已知f(x)=

3

sin

x

4

cos

x

4

+cos2

x

4

+

1

2

=

3

2

sin

x

2

+

1

2

cos

x

2

+1=sin（

x

2

+

π

6

）+1，
故f（x）的周期为

2π

1 2

=4π．
由sin（

x

2

+

π

6

）=0 求得

x

2

+

π

6

=kπ，k∈z，即 x=2kπ-

π

3

，故函数的图象的对称中心为（2kπ-

π

3

，0）．
（2）△ABC中，∵（2a-c）cosB=bcosC，由正弦定理可得 （2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
化简可得2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，∴cosB=

1

2

，∴B=

π

3

．
∴f（B）=sin（

π

6

+

π

6

）+1=

3

2

+1．