题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)=sinx(cosx-

3

sinx)．
（I）求函数f（x）的最小正周期；
（II）将函数y=sin2x的图象向左平移a(0＜a＜

π

2

)个单位，向下平移b个单位，得到函数y=f（x）的图象，求ab的值；
（Ⅲ）求函数f（x）在[0，

π

2

]上的值域．

答案

（I）f(x)=-

3

sin2x+sinxcosx
=-

3

×

1-cos2x

2

+

1

2

sin2x
=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x-

3

2

=sin(2x+

π

3

)-

3

2

．
函数f（x）的最小正周期是T=

2π

2

=π；
（II）由（I）得，sin2(x+a)-b=sin(2x+

π

3

)-

3

2

，
可知a=

π

6

，b=

3

2

．则ab=

3

12

π．
（Ⅲ）∵0≤x≤

π

2

，∴

π

3

≤2x+

π

3

≤

4π

3

，
∴-

3

2

≤sin(2x+

π

3

)≤1，
∴f（x）的值域为[-

3

，1-

3

2

]．