题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知f（x）=ln (

x2+1

+x)，g（x）=

ex+e-x

2

（1）判断f（x）的奇偶性，并求f^-1（x）；
（2）若f^-1（x）g（x）=1，求x的值．

答案

（1）f（x）的定义域为R，
f（x）+f（-x）=ln (

x2+1

+x)+ln (

x2+1

-x)=ln1=0，
所以f（x）为奇函数，
由y=ln (

x2+1

+x)得ey=

x2+1

+x，①
由y=ln (

x2+1

+x)得-y=-ln (

x2+1

+x)
即-y=ln (

x2+1

-x)
所以e-y=

x2+1

-x，②
由①②得2x=e^y-e^-y，
所以f^-1（x）=

ex-e-x

2

（x∈R）
（2）f^-1（x）g（x）=1等价于方程e^2x-e^-2x=4
解得e2x=2-

5

（舍）或e2x=2+

5

x=

1

2

ln(2+

5

)