题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

设函数f（x）=log_a（x+b）（a＞0且a≠1），f（x）的反函数f^-1（x）的图象与直线y=x的两个交点的横坐标分别为0、1．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）当点（x，y）是y=f（x）图象上的点时，点(

x

3

，

y

2

)是函数y=g（x）上的点，求函数y=g（x）的解析式：
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当g(

kx

3

)-f（x）≥0时，求x的取值范围（其中k是常数，且k≥

3

2

）．

答案

（1）由题意知f^-1（x）的图象与直线y=x的两个交点为（0，0），（1，1）
∴函数f（x）=log_a（x+b）过（0，0），（1，1）两点
∴

logab=0 loga(1+b)=1

即b=1，a=2
∴f（x）=log₂^（x+1）
（2）∵点（x，y）是y=f（x）图象上的点
∴y=f（x）=log₂^（x+1）
∵点(

x

3

，

y

2

)是函数y=g（x）上的点
∴

y

2

=g（

x

3

）吗
∴

log2(x+1)

2

=g（

x

3

）
用3x代x：g（x）=

log2(3x+1)

2

（3）∵g(

kx

3

)-f（x）≥0
∴log₂^（kx+1）-2log₂^（x+1）≥0
∴

kx+1 (x+1)2 ≥ 1 x+1＞0

且kx+1＞0且k≥

3

2

∴当

3

2

≤k≤2时   k-2≤x≤0
  当 k＞2时  0≤x≤k-2