题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
f(x1)+f(x2) |
2 |
(1)判断函数f(x)=x+1,x∈[-1,3]是否为“和谐函数”?答:______.(填“是”或“否”)如果是,写出它的一个“和谐数”:______.(4分)
(2)证明:函数g(x)=lgx,x∈[10,100]为“和谐函数”,
3 |
2 |
(3)判断函数u(x)=x2,x∈R是否为和谐函数,并作出证明.
答案
f(x1)+f(x2) |
2 |
f(x1)+f(x2) |
2 |
故正确答案为 是; 2
(2)证明:①对任意x1∈[10,100],令
g(x1)+g(x2) |
2 |
3 |
2 |
lgx1+lgx2 |
2 |
3 |
2 |
得x2=
1000 |
x1 |
1000 |
x1 |
即对任意x1∈[10,100],存在唯一的x2=
1000 |
x1 |
g(x)+g(x2) |
2 |
3 |
2 |
∴g(x)=lgx为“和谐函数”,其“和谐数”为
3 |
2 |
参照上述证明过程证明:函数h(x)=2x,x∈(1,3)为“和谐函数”,5是其“和谐数”;
②对任意x1∈(1,3),令
h(x1)+h(x2) |
2 |
2x1+2x2 |
2 |
即对任意x1∈(1,3),存在唯一的x2=log2(10-2x1)∈(1,3),使得
h(x1)+h(x2) |
2 |
∴h(x)=2x,x∈(1,3)为“和谐函数”,5是其“和谐数”
(3)函数u(x)=x2,x∈R不是“和谐函数”,证明如下:
对任意的常数C,①若C≤0,则对于x1=1,显然不存在x2∈R,使得
x12+x22 |
2 |
1+x22 |
2 |
所以C(C≤0)不是函数u(x)=x2,x∈R的和谐数;
②若C>0,则对于x1=
4C |
x12+x22 |
2 |
4C+x22 |
2 |
即不存在x2∈R,使
x12+x22 |
2 |
综上所述,函数u(x)=x2,x∈R不是“和谐函数”.
核心考点
试题【我们给出如下定义:对函数y=f(x),x∈D,若存在常数C(C∈R),对任意的x1∈D,存在唯一的x2∈D,使得f(x1)+f(x2)2=C,则称函数f(x)为】;主要考察你对实数指数幂及其运算等知识点的理解。[详细]
举一反三
1 |
2|x| |
(Ⅰ)(lg2)2+lg5•lg20-1;
(Ⅱ) (
3 | 2 |
3 |
2
|
4 |
3 |
16 |
49 |
1 |
2 |
4 | 2 |
| ||
12 |
A.713-7 | B.712-7 | C.712-1 | D.711-1 |
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