题目

题型：解答题难度：一般来源：西城区一模

已知函数f（x）=（x²-mx+m）•e^x（m∈R）．
（Ⅰ）若函数f（x）存在零点，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）当m＜0时，求函数f（x）的单调区间；并确定此时f（x）是否存在最小值，如果存在，求出最小值，如果不存在，请说明理由．

答案

（Ⅰ）设f（x）有零点，即函数g（x）=x²-mx+m有零点，
所以m²-4m≥0，解得m≥4或m≤0．
（Ⅱ）f"（x）=（2x-m）•e^x+（x²-mx+m）•e^x=x（x-m+2）e^x，
令f"（x）=0，得x=0或x=m-2，
因为m＜0时，所以m-2＜0，
当x∈（-∞，m-2）时，f"（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当x∈（m-2，0）时，f"（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈（0，+∞）时，f"（x）＞0，函数f（x）单调递增．
此时，f（x）存在最小值．f（x）的极小值为f（0）=m＜0．
根据f（x）的单调性，f（x）在区间（m-2，+∞）上的最小值为m，
解f（x）=0，得f（x）的零点为x1=

m- m2-4m

2

和x2=

m+ m2-4m

2

，
结合f（x）=（x²-mx+m）•e^x，
可得在区间（-∞，x₁）和（x₂，+∞）上，f（x）＞0
因为m＜0，所以x₁＜0＜x₂，
并且x1-(m-2)=

m- m2-4m

2

-m+2=

-m+4- m2-4m

2

＞

-m+4- m2-4m+4

2

=

-m+4-|m-2|

2

=

-m+4-(2-m)

2

=1＞0，
即x₁＞m-2，
综上，在区间（-∞，x₁）和（x₂，+∞）上，f（x）＞0，f（x）在区间（m-2，+∞）上的最小值为m，m＜0，
所以，当m＜0时f（x）存在最小值，最小值为m．