题目

题型：解答题难度：困难来源：期末题

设M是由满足下列条件的函数f（x）构成的集合：“①方程f（x）﹣x=0有实数根；②函数f（x）的导数f′（x）满足0＜f′（x）＜1．”
（I）判断函数是否是集合M中的元素，并说明理由；
（II）集合M中的元素f（x）具有下面的性质：若f（x）的定义域为D，则对于任意
[m，n]D，都存在x₀∈（m，n），使得等式f（n）﹣f（m）=（n﹣m）f"（x₀）成立．
试用这一性质证明：方程f（x）﹣x=0只有一个实数根；
（III）设x₁是方程f（x）﹣x=0的实数根，求证：对于f（x）定义域中任意的x₂，x₃，当|x₂﹣x₁|＜1，且|x₃﹣x₁|＜1时，有|f（x₃）﹣f（x₂）|＜2.

答案

解：（I）因为，
又因为当x=0时，f（0）=0，
所以方程f（x）﹣x=0有实数根0．
所以函数是的集合M中的元素．
（II）假设方程f（x）﹣x=0存在两个实数根α，β（α≠β），
则f（α）﹣α=0，f（β）﹣β=0
不妨设α＜β，
根据题意存在数c（α，β）使得等式f（β）﹣f（α）=（β﹣α）f"（c）成立．
因为f（α）=α，f（β）=β，且α≠β，
所以f"（c）=1，与已知0＜f"（x）＜1矛盾，
所以方程f（x）﹣x=0只有一个实数根；
（III）不妨设x₂＜x₃，
因为f"（x）＞0，所以f（x）为增函数，
所以f（x₂）＜f（x₃），
又因为f"（x）﹣1＜0，所以函数f（x）﹣x为减函数，
所以f（x₂）﹣x₂＞f（x₃）﹣x₃，
所以0＜f（x₃）﹣f（x₂）＜x₃﹣x₂，即|f（x₃）﹣f（x₂）|＜|x₃﹣x₂|，
所以|f（x₃）﹣f（x₂）|＜|x₃﹣x₂|=|x₃﹣x₁﹣（x₂﹣x₁）|≤|x₃﹣x₁|+|x₂﹣x₁|＜2