题目

题型：解答题难度：困难来源：同步题

对于函数f（x），若存在x₀∈R，使f（x₀）=x₀成立，则称x₀为f（x）的不动点．
如果函数有且仅有两个不动点0和2，且．
（1）求实数b，c的值；
（2）已知各项不为零的数列{a_n}的前n项之和为S_n，并且，
求数列{a_n}的通项公式；
（3）求证：．

答案

（1）设 得：（1﹣b）x²+cx+a=0，
由根与系数的关系，得：，解得 ，
代入解析式 ，
由 ，得c＜3，
又c∈N，b∈N，若c=0，b=1，
则f（x）=x不止有两个不动点
∴．
（2）由题设，知 ，
所以，2S_n=a_n﹣a_n²①；
且a_n≠1，以n﹣1代n得：2S_n﹣1=a_n﹣1﹣a_n﹣1²，②；
由①﹣②得：2a_n=（a_n﹣a_n﹣1）﹣（a_n²﹣a_n﹣1²），
即（a_n+a_n﹣1）（a_n﹣a_n﹣1+1）=0，
∴a_n=﹣a_n﹣1或a_n﹣a_n﹣1=﹣1，
以n=1代入①得：2a₁=a₁﹣a₁²，
解得a₁=0（舍去）或a₁=﹣1；
由a₁=﹣1，若a_n=﹣a_n﹣1得a₂=1，这与a_n≠1矛盾，
∴a_n﹣a_n﹣1=﹣1，
即{a_n}是以﹣1为首项，﹣1为公差的等差数列，
∴a_n=﹣n；
（3）由a_n=﹣n，
知，
，
当n=1时，=，，
成立．
假设n=k时，成立，
则当n=k+1时，成立．
所以，．