题目
题型:解答题难度:一般来源:安庆模拟
2(x-1) |
x+1 |
(1)证明:当x>1时,g(x)>0恒成立;
(2)若函数f(x)无零点,求实数a的取值范围;
(3)若函数f(x)有两个相异零点x1、x2,求证:x1x2>e2.
答案
1 |
x |
4 |
(x+1)2 |
(x-1)2 |
x(x+1)2 |
∴x>1时,g(x)>0恒成立.
(2)f(x)=lnx-ax的定义域是(0,+∞),f′(x)=
1 |
x |
1-ax |
x |
由于a>0,x>0,令f′(x)>0,解得0<x<
1 |
a |
∴f(x)在(0,
1 |
a |
1 |
a |
∴f(x)≤f(
1 |
a |
1 |
e |
故所求a的范围是(
1 |
e |
(3)因为f(x)有两个相异的零点,又由于x>0,
故不妨令x1>x2>0,且有lnx1=ax1,lnx2=ax2 ,∴lnx1+lnx2=a(x1+x2),lnx1-lnx2=a(x1-x2),
要证x1x2>e2⇔ln(x1x2)>2⇔lnx1+lnx2>2⇔a>
2 |
x1+x2 |
lnx1-lnx2 |
x1-x2 |
2 |
x1+x2 |
2(x1-x2) |
x1+x2 |
x1 |
x2 |
2(
| ||
|
令t=
x1 |
x2 |
2(t-1) |
t+1 |
而由(1)知t>1时,lnt-
2(t-1) |
t+1 |
2(t-1) |
t+1 |
故x1x2>e2.
核心考点
试题【设a>0,函数f(x)=lnx-ax,g(x)=lnx-2(x-1)x+1(1)证明:当x>1时,g(x)>0恒成立;(2)若函数f(x)无零点,求实数a的取值】;主要考察你对函数的零点等知识点的理解。[详细]
举一反三
1 |
2 |
1+lga |
1-lga |
A.(0,1) | B.(0.1,10) | C.(0.1,1) | D.(10,+∞) |
|
3π |
4 |
(Ⅰ)求实数a的值;
(Ⅱ)设g(x)=[f(x)]2-2sin2x,求g(x)的单调递增区间.