题目

题型：解答题难度：一般来源：西城区一模

已知函数f（x）=sinx+acosx的一个零点是

3π

4

．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）设g（x）=[f（x）]²-2sin²x，求g（x）的单调递增区间．

答案

（Ⅰ）∵f（x）=sinx+acosx，且f(

3π

4

)=0，
∴sin

3π

4

+acos

3π

4

=0，
即

2

2

-

2 a

2

=0，解之得a=1．                                               
 （Ⅱ）由（Ⅰ）得 f（x）=sinx+cosx．
∴g（x）=[f（x）]²-2sin²x
=（sinx+cosx）²-2sin²x=sin2x+cos2x=

2

sin(2x+

π

4

)．
解不等式2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，
得 kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，k∈Z．
∴函数g（x）的单调递增区间为[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]，k∈Z．