题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知向量a=(sin

x

2

，

3

cos

x

2

)，b=(cos

x

2

，cos

x

2

)，设f（x）=a•b．
（Ⅰ）求函数f（x）在[0，2π]上的零点；
（Ⅱ）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知f(A)=

3

，b=2，sinA=2sinC，求边c的值．

答案

（Ⅰ）f(x)=a•b=sin

x

2

•cos

x

2

+

3

cos2

x

2

=

1

2

sinx+

3

2

cosx+

3

2

=sin(x+

π

3

)+

3

2

．
由sin(x+

π

3

)+

3

2

=0，得，x+

π

3

=2kπ+

4π

3

，或x+

π

3

=2kπ-

π

3

，k∈Z
由x∈[0，2π]，得x=π或x=

4π

3

．故函数f（x）的零点为 π 和

4π

3

．
（Ⅱ）由f(A)=sin(A+

π

3

)+

3

2

=

3

，A∈（0，π），得A=

π

3

．
由sinA=2sinC得 a=2c．又b=2，由a²=b²+c²-2bccosA，得4c2=22+c2-2•2ccos

π

3

，
即  3c²+2c-4=0，∵c＞0，∴c=

13 -1

3

．