题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知

a

=(1-cosx，2sin

x

2

)，

b

=(1+cosx，2cos

x

2

)
（1）若f(x)=2+sinx-

1

4

|

a

-

b

|²，求f（x）的表达式．
（2）若函数f（x）和函数g（x）的图象关于原点对称，求g（x）的解析式．
（3）若h（x）=g（x）-λf（x）+1在[-

π

2

，

π

2

]上是增函数，求实数λ的取值范围．

答案

解（1）：f(x)=2+sinx-

1

4

[4cos2x+4(sin

x

2

-cos

x

2

)2]，
=2+sinx-cos²x-1+sinx=sin²x+2sinx
（2）：设函数y=f（x）的图象上任一点M（x₀，y₀）
关于原点的对称点为N（x，y）
则x₀=-x，y₀=-y，
∵点M在函数y=f（x）的图象上
∴-y=sin²（-x）+2sin（-x），即y=-sin²x+2sinx
∴函数g（x）的解析式为g（x）=-sin²x+2sinx
（3）∵h（x）=-（1+λ）sin²x+2（1-λ）sinx+1，
设sinx=t，
∵x∈[-

π

2

，

π

2

]
∴-1≤t≤1，
则有h（t）=-（1+λ）t²+2（1-λ）t+1（-1≤t≤1）．
①当λ=-1时，h（t）=4t+1在[-1，1]上是增函数，∴λ=-1，
②当λ≠-1时，对称轴方程为直线t=

1-λ

1+λ

ⅰ） λ＜-1时，

1-λ

1+λ

≤-1，解得λ＜-1
ⅱ）当λ＞-1时，

1-λ

1+λ

≥1，解得-1＜λ≤0综上，λ≤0．