题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

设f（x）=x²+mx+n，f（-1）=-1．
（Ⅰ）求证：方程f（x）=0有两个不相等的实根；
（Ⅱ）若f（0）•f（1）＜0，求m的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设x₁，x₂是方程f（x）=0的两个实根，求证：2＜|x1-x2|＜

5

2

．

答案

（Ⅰ）∵f（-1）=-1，∴m-n=2（2分）
∴△=m²-4n=m²+4（2-m）=（m-2）²+4＞0，
则方程f（x）=0有两个不相等的实根；（5分）

（Ⅱ）∵f（0）•f（1）＜0，∴n（1+m+n）＜0，（7分）
将m-n=2代入有（m-2）（2m-1）＜0，∴

1

2

＜m＜2；（10分）

（Ⅲ）∵x₁+x₂=-m，x₁x₂=n，
∴|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

m2-4n

═

(m-2)2+4

（14分）
∵

1

2

＜m＜2，∴2＜|x1-x2|＜

5

2

．（16分）