题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知二次函数f（x）=ax²+（2a-1）x+1在区间[-

3

2

，2]上的最大值为3，求实数a的值．

答案

因为二次函数f（x）在区间[-

3

2

，2]上的最大值为3，
所以必有f(-

2a-1

2a

)=3，或f（2）=3，或f(-

3

2

)=3．
（1）若f(-

2a-1

2a

)=3，即1-

(2a-1)2

4a

=3，解得a=-

1

2

，
此时抛物线开口向下，对称轴方程为x=-2，且-2∉[-

3

2

，2]，
故a=-

1

2

不合题意；
（2）若f（2）=3，即4a+2（2a-1）+1=3，解得a=

1

2

，
此时抛物线开口向上，对称轴方程为x=0，闭区间的右端点距离对称轴较远，
故a=

1

2

符合题意；
（3）若f(-

3

2

)=3，即

9

4

a-

3

2

(2a-1)+1=3，解得a=-

2

3

，
此时抛物线开口向下，对称轴方程为x=

7

4

，闭区间的左端点距离对称轴较远，故a=-

2

3

符合题意．
综上，a=

1

2

或a=-

2

3

．