题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

若函数f（x）=-x²+（a+2）x+2+b，log₂f（1）=2，且g（x）=f（x）-2x为偶函数．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在区间[m，+∞）的最大值为3-3m，求m的值．

答案

（1）因为log₂f（1）=2，所以f（1）=4，即-1+a+2+2+b=4，即a+b=1．
又g（x）=f（x）-2x=-x²+（a+2）x+2+b-2x═-x²+ax+2+b，
因为g（x）=f（x）-2x为偶函数，所以a=0，解得b=1．
所以f（x）=-x²+2x+3．
（2）因为f（x）=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，对称轴为x=1．
当m≥1，f(x)max=-m2+2m+3=3-3m，可得m=5．
当m＜1，f（x）_max=4=3-3m，可得m=-

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3

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综合得m=5或m=-

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3

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