附加题：是否存在一个二次函数f（x），使得对任意的正整数k，当时，都有f（x）=成立？请给出结论，并加以证明． - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

附加题：是否存在一个二次函数f（x），使得对任意的正整数k，当

时，都有f（x）=

成立？请给出结论，并加以证明．

答案

存在符合条件的二次函数．
设f（x）=ax²+bx+c，则当k=1，2，3时有：
f（5）=25a+5b+c=55 ①； f（55）=3025a+55a+c=5555②； f（555）=308025a+555b+c=555555③．
联立①、②、③，解得a=

，b=2，c=0．
于是，f（x）=

x²+2x．
下面证明二次函数f（x）=

x²+2x符合条件．
因为

=5（1+10+100++10^k-1）=

（10^k-1），
同理：

（10^2k-1）；

=f（

（10^k-1））=

[

(10k-1)]2+2×

（10^k-1）
=

（10^k-1）²+2×

（10^k-1）=

（10^k-1）（10^k+1）=

（10^2k-1）=

∴所求的二次函数 f（x）=

x²+2x符合条件．

核心考点

试题【附加题：是否存在一个二次函数f（x），使得对任意的正整数k，当时，都有f（x）=成立？请给出结论，并加以证明．】；主要考察你对二次函数的图象和性质等知识点的理解。[详细]

举一反三

定义一种运算a⊗b=

a，a≤b

b，a＞b

，令f（x）=（3+2x-x²）⊗|x-t|（t为常数），且x∈[-3，3]，则使函数f（x）的最大值为3的t的集合是（　　）

A．{3，-3}

B．{-1，5}

C．{3，-1}

D．{-3，-1，3，5}

题型：单选题难度：一般| 查看答案

已知f（x）=ax²-c，且-4≤f（1）≤-1，-1≤f（2）≤5，求f（4）的取值范围．

题型：解答题难度：一般| 查看答案

若关于x的不等式mx²-2（m+1）x+m+3＞0的解集为R，则m的取值范围是______．

题型：填空题难度：简单| 查看答案

已知二次函数f（x）=ax²+bx（a≠0），且f（x+1）为偶函数，定义：满足f（x）=x的实数x称为函数f（x）的“不动点”，若函数f（x）有且仅有一个不动点．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）=f（x）+kx²在（0，4）上是增函数，求实数k的取值范围；
（3）是否存在区间[m，n]（m＜n），使得f（x）在区间[m，n]上的值域为[3m，3n]？若存在，请求出m，n的值；若不存在，请说明理由．

题型：解答题难度：一般| 查看答案

已知函数f（x）=x²+mx+nlnx（x＞0，实数m，n为常数）．且n+3m²=0（m＞0），若函数f（x）在x∈[1，+∞）上的最小值为0，则m=（　　）

A．e

B．e

C．

D．-1

题型：单选题难度：简单| 查看答案

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