题目

题型：解答题难度：一般来源：普陀区一模

在平面直角坐标系xOy中，点A_n满足

OA1

=(0，1)，且

AnAn+1

=(1，1)；点B_n满足

OB1

=(3，0)，且

BnBn+1

=(3•(

2

3

)n，0)，其中n∈N^*．
（1）求

OA2

的坐标，并证明点A_n在直线y=x+1上；
（2）记四边形A_nB_nB_n+1A_n+1的面积为a_n，求a_n的表达式；
（3）对于（2）中的a_n，是否存在最小的正整数P，使得对任意n∈N^*都有a_n＜P成立？若存在，求P的值；若不存在，请说明理由．

答案

（1）由已知条件得，

A1A2

=(1，1)，

A1A2

=

OA2

-

OA1

，∴

OA2

=(1，2)，
∵

AnAn+1

=(1，1)，∴

OAn+1

-

OAn

=(1， 1)
设

OAn

=(xn，yn)，则x_n+1-x_n=1，y_n+1-y_n=1
∴x_n=0+（n-1）•1=n-1；y_n=1+（n-1）•1=n．
即A_n=（n-1，n）满足方程y=x+1，∴点A_n在直线y=x+1上．
（2）由（1）得A_n（n-1，n），

BnBn+1

=

OBn+1

-

OBn

=(3•(

2

3

) n，0)，
设B_n（u_n，v_n），则u₁=3，v₁=0，v_n+1-v_n=0，∴v_n=0，
un+1-un=3•(

2

3

)n，逐差累和得，un=9(1-(

2

3

)n)，
∴Bn(9(1-(

2

3

)n)，0)．
设直线y=x+1与x轴的交点P（-1，0），则an=S△PAn+1Bn+1-S△PAnBn=

1

2

[10-9(

2

3

)n+1](n+1)-

1

2

[10-9(

2

3

)n]na_n=5+(n-2)(

2

3

)n-1，n∈N^*．
（3）由（2）a_n=5+(n-2)(

2

3

)n-1，n∈N^*
an+1-an=[5+(n-1)(

2

3

)n]-[5+(n-2)(

2

3

)n-1]=

4-n

3

(

2

3

)n-1，
于是，a₁＜a₂＜a₃＜a₄=a₅，a₅＞a₆＞a₇＞…
数列{a_n}中项的最大值为a4=a5=5+

16

27

，则P＞5

16

27

，即最小的正整数p的值为6，
所以，存在最小的自然数p=6，对一切n∈N^*都有a_n＜p成立．