题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
ax+b |
x2+a |
1 |
2 |
(1)求a,b的值;
(2)写出函数y=g(x)在[-1,1]上的单调性,并用定义证明;
(3)讨论关于x的方程g(x)-t=0(t∈R)的根的个数.
答案
∴a>0且g(0)=
b |
a |
∴b=0,故有g(x)=
ax |
x2+a |
∵g(x)≤
1 |
2 |
ax |
x2+a |
1 |
2 |
整理可得,x2-2ax+a≥0恒成立
∴△=4a2-4a≤0
解可得,0<a≤1
∵a∈N*
∴a=1
(2)g(x)在[-1,1]上单调递增,证明如下
z证明:由(1)可得,g(x)=
x |
x2+1 |
设0≤x1<x2≤1
则g(x1)-g(x2)=
x1 |
x12+1 |
x2 |
x22+1 |
=
x1(x22+1)-x2(x12+1) |
(x12+1)(x22+1) |
=
(x1-x2)(1-x1x2) |
(x12+1)(x22+1) |
∵0≤x1<x2≤1
∴x1-x2<0,1-x1x2>0,1+x12>0,1+x22>0
则g(x1)-g(x2)=
(x1-x2)(1-x1x2) |
(x12+1)(x22+1) |
即g(x1)<g(x2)
∴g(x)在[0,1]上单调递增
根据奇函数对称区间上的单调性一致可知,且g(0)=0,则可得g(x)在[-1,0)上单调递增
综上可得,g(x)在[-1,1]上单调递增
(3)由(2)可得,-
1 |
2 |
1 |
2 |
①当t>
1 |
2 |
1 |
2 |
②当-
1 |
2 |
1 |
2 |
核心考点
试题【已知奇函数g(x)=ax+bx2+a(a∈N*,b∈R)的定义域为R,且恒有g(x)≤12.(1)求a,b的值;(2)写出函数y=g(x)在[-1,1]上的单调】;主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求f(x)的定义域;
(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明;
(3)当a>1时,求使f(x)>0的x的取值范围.
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