题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

定义在R上的奇函数f（x），当x∈（-∞，0）时，f（x）=-x²+mx-1．
（1）当x∈（0，+∞）时，求f（x）的解析式；
（2）若方程f（x）=0有五个不相等的实数解，求实数m的取值范围．

答案

（1）设x＞0，则-x＜0，∴f（-x）=-x²-mx-1（2分）
又f（x）为奇函数，即f（-x）=-f（x），（3分）
所以，f（x）=x²+mx+1（x＞0），（4分）
又f（0）=0，（6分）
所以f(x)=

x2+mx+1 x＞0 0  x=0 -x2+mx-1  x＜0

（7分）
（2）因为f（x）为奇函数，所以函数y=f（x）的图象关于原点对称，（8分）
由方程f（x）=0有五个不相等的实数解，得y=f（x）的图象与x轴有五个不同的交点，（9分）
又f（0）=0，所以f（x）=x²+mx+1（x＞0）的图象与x轴正半轴有两个不同的交点，（10分）
即，方程x²+mx+1=0有两个不等正根，记两根分别为x₁，x₂（11分）
⇒

△=m2-4＞0 x1+x2=-m＞0 x1•x2=1＞0

⇒m＜-2，（14分）
所以，所求实数m的取值范围是m＜-2（15分）