题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

设函数f（x）=x²+bln（x+1），其中b≠0．
（1）若b=-12，求f（x）在[1，3]的最小值；
（2）如果f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，求实数b的取值范围；
（3）是否存在最小的正整数N，使得当n≥N时，不等式ln

n+1

n

＞

n-1

n3

恒成立．

答案

（1）由题意知，f（x）的定义域为（-1，+∞），
b=-12时，由f/(x)=2x-

12

x+1

=

2x2+2x-12

x+1

=0，得x=2（x=-3舍去），
当x∈[1，2）时，f′（x）＜0，当x∈（2，3]时，f′（x）＞0，
所以当x∈[1，2）时，f（x）单调递减；当x∈（2，3]时，f（x）单调递增，
所以f（x）_min=f（2）=4-12ln3
（2）由题意f/(x)=2x+

b

x+1

=

2x2+2x+b

x+1

=0在（-1，+∞）有两个不等实根，
即2x²+2x+b=0在（-1，+∞）有两个不等实根，
设g（x）=2x²+2x+b，则

△=4-8b＞0 g(-1)＞0

，解之得0＜b＜

1

2

；
（3）对于函数f（x）=x²-ln（x+1），令函数h（x）=x³-f（x）=x³-x²+ln（x+1）
则h/(x)=3x2-2x+

1

x+1

=

3x3+(x-1)2

x+1

，
∴当x∈[0，+∞）时，h′（x）＞0
所以函数h（x）在[0，+∞）上单调递增，
又h（0）=0，
∴x∈（0，+∞）时，恒有h（x）＞h（0）=0
即x²＜x³+ln（x+1）恒成立．
取x=

1

n

∈(0，+∞)，则有ln(

1

n

+1)＞

1

n2

-

1

n3

恒成立．
显然，存在最小的正整数N=1，使得当n≥N时，不等式ln(

1

n

+1)＞

1

n2

-

1

n3

恒成立