题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=xlnx，g（x）=-x²+2ax-3．
（1）求f（x）在区间[1，3]上的最小值．
（2）若f（x），g（x）在区间[1，3]上单调性相同，求实数α的取值范围．
（3）求证：对任意的α，都有f(x)＞

x

ex

-

2

e

．

答案

（1）函数f（x）=xlnx，f′（x）=lnx+1，当x∈[1，3]时，f′（x）＞0，
因此f（x）在[1，3]上为单调递增函数，所以f（x）_min=f（1）=0
（2）要求f（x），g（x）在区间[1，3]上单调性相同，而f（x）在[1，3]上为单调递增函数，所以g（x）在区间[1，3]上单调递增，因为g（x）=-x²+2ax-3，g′（x）=-2x+2a，即g′（x）≥0当x∈[1，3]时恒成立，
所以-2x+2a≥0，因此a≥x，当x∈[1，3]时恒成立，
所以a的取值范围是[3，+∞）．
（3）函数f（x）=xlnx，f′（x）=lnx+1，可知函数f（x）在（0，+∞）上的最小值为f（

1

e

）=-

1

e

，
设h（x）=

x

ex

-

2

e

，则h′（x）=

1-x

ex

，可知函数h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（1）=-

1

e

，所以当x∈（0，+∞）时，f（x）≥f（

1

e

）=-

1

e

=h（1）≥h（x），
综上所述，当x∈（0，+∞）时，f(x)＞

x

ex

-

2

e