题目
题型:解答题难度:一般来源:广州模拟
1 |
3 |
a |
2 |
(1)当a=3时,求函数f(x)的单调区间;
(2)若对于任意x∈[1,+∞)都有f"(x)<2(a-1)成立,求实数a的取值范围;
(3)若过点(0,-
1 |
3 |
答案
1 |
3 |
3 |
2 |
因为f"(x)=-x2+3x-2=-(x-1)(x-2),
所以当1<x<2时,f"(x)>0,函数f(x)单调递增;
当x<1或x>2时,f"(x)<0,函数f(x)单调递减.
所以函数f(x)的单调递增区间为(1,2),单调递减区间为(-∞,1)和(2,+∞).…(3分)
(2)方法1:由f(x)=-
1 |
3 |
a |
2 |
因为对于任意x∈[1,+∞)都有f"(x)<2(a-1)成立,
即对于任意x∈[1,+∞)都有-x2+ax-2<2(a-1)成立,
即对于任意x∈[1,+∞)都有x2-ax+2a>0成立,…(4分)
令h(x)=x2-ax+2a,
要使对任意x∈[1,+∞)都有h(x)>0成立,
必须满足△<0或
|
即a2-8a<0或
|
所以实数a的取值范围为(-1,8).…(7分)
方法2:由f(x)=-
1 |
3 |
a |
2 |
因为对于任意x∈[1,+∞)都有f"(x)<2(a-1)成立,
所以问题转化为,对于任意x∈[1,+∞)都有[f"(x)]max<2(a-1).…(4分)
因为f′(x)=-(x-
a |
2 |
a2 |
4 |
a |
2 |
①当
a |
2 |
所以f"(x)max=f"(1)=a-3,
由a-3<2(a-1),得a>-1,此时-1<a<2.…(5分)
②当
a |
2 |
a |
2 |
a |
2 |
所以f′(x)max=f′(
a |
2 |
a2 |
4 |
由
a2 |
4 |
综上①②可得,实数a的取值范围为(-1,8).…(7分)
(3)设点P(t,-
1 |
3 |
a |
2 |
则过点P的切线的斜率为k=f"(t)=-t2+at-2,…(8分)
所以过点P的切线方程为y+
1 |
3 |
a |
2 |
因为点(0,-
1 |
3 |
所以-
1 |
3 |
1 |
3 |
a |
2 |
即
2 |
3 |
1 |
2 |
1 |
3 |
若过点(0,-
1 |
3 |
则方程
2 |
3 |
1 |
2 |
1 |
3 |
令g(t)=
2 |
3 |
1 |
2 |
1 |
3 |
令g"(t)=2t2-at=0,解得t=0或t=
a |
2 |
因为g(0)=
1 |
3 |
a |
2 |
1 |
24 |
1 |
3 |
所以必须g(
a |
2 |
1 |
24 |
1 |
3 |
所以实数a的取值范围为(2,+∞).…(14分)
核心考点
试题【已知函数f(x)=-13x3+a2x2-2x(a∈R).(1)当a=3时,求函数f(x)的单调区间;(2)若对于任意x∈[1,+∞)都有f"(x)<2(a-1)】;主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]
举一反三
1 |
x+1 |
①f(x)=
3 | x4 |
4 | x3 |
3 | x |
1 |
x3 |
⑤f(x)=
3 |
x2 |
1 |
x |
最新试题
- 1读我国部分省区人口承栽状况(实际人口密度与理论人口承载密度之比)及20世纪80年代下半期人口流动示意图。回答问题。小题1
- 2在正方形ABCD中,点F在AD延长线上,且DF=DC,M为AB边上一点,N为MD的中点,点E在直线CF上(点E、C不重合
- 3列车上有出售食品的手推车(如图),若货物在车内质量分布均匀,当前轮遇到障碍物A时,售货员向下按扶把,这时手推车可视为杠杆
- 4货币之所以能够充当价值尺度,从根本上说是因为A.货币是商品具有交换职能B.货币是金银贵金属C.货币本身有使用价值 D.货
- 5中共七届二中全会在党的建设方面所做出的重大贡献是: [ ]A、妥善处理了党内存在的分岐和矛盾B、确立了***思想
- 6同学为了测定黄铜屑(由锌和铜形成的合金)样品组成.取了50g样品与足量稀硫酸反应,生成了1g氢气.试计算黄铜中铜的质量分
- 7Sean has formed the habit of jogging the tree-lined
- 8我国民族分布的特点是( )A.各民族大杂居,小聚居B.各民族大聚居,小杂居C.多分布在东南地区D.多分布在平原地区
- 9下列区域具有明确边界的是①行政区 ②自然带 ③热量带 ④干湿地区⑤洞庭湖平原 ⑥山西省汾阳市A.①②③B.③④⑤C.①⑤
- 10某化学兴趣小组的同学设计了如下实验来验证二氧化碳气体的相关性质,实验步骤如下: Ⅰ.取一个三通管(三个管口都未密封,与空
热门考点
- 1韩非子和黄宗羲对君主专制制度持完全相反的观点。对此认识正确的是①两人代表的阶级利益不同 ②当时社会的经济基础状况不同 ③
- 2军训结束后,小强想把这几天的军训生活记录下来,请你帮他选一选以下能表现磨砺意志的成语和俗语[ ]①绳锯木断,水滴
- 3对于数列,定义为数列的一阶差分数列,其中;对,定义为的阶差分数列,其中.(1)若数列的通项公式为,分别求出其一阶差分数列
- 4已知在△ABC中,AB=6,AC=8,∠A=90°,把Rt△ABC绕直线AC旋转一周得到一个圆锥,其表面积为S1,把Rt
- 5下列内容属于《雅尔塔秘密协定》的是[ ]A.开辟欧洲第二战场B.彻底打败德国C.对德国进行民主化改造D.大连商港
- 6(7分)按课文原文填空。(1)、 ,君子好逑。(《关雎》)(2)、伤心秦汉经行处,
- 7镇江市的行政区划中有区、县和县级市,这些“区”、“县”、“县级市”都是县级行政单位。秦朝统一后,在地方上全面推行的是A.
- 8读“地震波波速变化图”,回答题。小题1:地球内部圈层划分的依据是A.地震波速度的变化B.地温的垂直变化C.内部压力的变化
- 9一质量m=1.0×105kg的物体以2m/s的初速度开始做加速度为0.5m/s2的匀加速直线运动,求(1)火车在第4s末
- 10我国城乡居民食用的肉、奶、禽、蛋主要来源于[ ]A.内蒙古牧区 B.新疆牧区 C、西藏牧区 D、农耕区畜牧业