题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=

x2+c

ax+b

为奇函数，f（1）＜f（3），
且不等式0≤f（x）≤

3

2

的解集是{x|-2≤x≤-1或2≤x≤4}．
（1）求a，b，c的值；
（2）是否存在实数m使不等式f（-2+sinθ）＜-m²+

3

2

对一切θ∈R成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

答案

（1）∵f（x）是奇函数，
∴f（-x）=-f（x）对定义域内的一切x都成立，即b=0．
从而f（x）=

1

a

（x+

c

x

）．
又∵

f(2)≥0 f(-2)≥0

，即

f(2)≥0 -f(2)≥0

∴f（2）=0，解之，得c=-4．
再由f（1）＜f（3），得

a＞0 c＜3

或

a＜0 c＞3

从而a＞0．
此时f（x）=

1

a

（x-

4

x

）
在[2，4]上是增函数．
注意到f（2）=0，则必有f（4）=

3

2

，
∴

1

a

（4-

4

4

）=

3

2

，即a=2．
综上可知，a=2，b=0，c=-4．

（2）由（1），得f（x）=

1

2

（x-

4

x

），
该函数在（-∞，0）以及（0，+∞）上均为增函数．
又∵-3≤-2+sinθ≤-1，
∴f（-2+sinθ）的值域为[-

5

6

，

3

2

]．
符合题设的实数m应满足

3

2

-m²＞

3

2

，即m²＜0，
故符合题设的实数m不存在．