题目

题型：解答题难度：一般来源：黄冈模拟

已知函数f（x）=x|x+m|+n，其中m，n∈R．
（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（Ⅱ）设n=-4，且f（x）＜0对任意x∈[0，1]恒成立，求m的取值范围．．

答案

（I）若m²+n²=0，即m=n=0，则f（x）=x•|x|，
∴f（-x）=-f（x）．即f（x）为奇函数．（2分）
若m²+n²≠0，则m、n中至少有一个不为0，
当m≠0．则f（-m）=n，f（m）=n+2m|m|，故f（-m）≠±f（m）．
当n≠0时，f（0）=n≠0，
∴f（x）不是奇函数，f（n）=n+|m+n|•n，f（-n）=n-|m-n|n，则f（n）≠f（-n），
∴f（x）不是偶函数．
故f（x）既不是奇函数也不是偶函数．
综上知：当m²+n²=0时，f（x）为奇函数；
当m²+n²≠0时，f（x）既不是奇函数也不是偶函数．（5分）
（Ⅱ）若x=0时，m∈R，f（x）＜0恒成立；（6分）
若x∈（0，1]时，原不等式可变形为|x+m|＜

4

x

．即-x-

4

x

＜m＜-x+

4

x

．
∴只需对x∈（0，1]，满足

m＜(-x+ 4 x )min① m＞(-x- 4 x )max②

（8分）
对①式，f1(x)=-x+

4

x

在（0，1]上单调递减，
∴m＜f₁（1）=3．（10分）
对②式，设f&2(x)=-x-

4

x

，则f2′(x)=

-x2+4

x2

＞0．（因为0＜x＜1）
∴f₂（x）在（0，1]上单调递增，
∴m＞f₂（1）=-5．（12分）
综上所知：m的范围是（-5，3）．（13分）．