题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知f（x）=x（

1

2x-1

+

1

2

）（x≠0）．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）证明f（x）＞0．

答案

（1）f（x）的定义域（-∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称，下面只要化简f（-x）．
f（-x）=-x(

1

2-x-1

+

1

2

)=-x（

2x

1-2x

+

1

2

）
=-x（

2x-1+1

1-2x

+

1

2

）
=x（

1

2x-1

+

1

2

）=f（x），
故f（x）是偶函数．
（2）证明：当x＞0时，2^x＞1，2^x-1＞0，
所以f（x）=x（

1

2x-1

+

1

2

）＞0．
当x＜0时，因为f（x）是偶函数
所以f（x）=f（-x）＞0．
综上所述，均有f（x）＞0．