题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0，x∈R）为奇函数，且f（x）在x=1处取得极大值2．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）记g(x)=

f(x)

x

+(k+1)lnx，求函数y=g（x）的单调区间；
（3）在（2）的条件下，当k=2时，若函数y=g（x）的图象在直线y=x+m的下方，求m的取值范围．

答案

（1）由f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）为奇函数，
∴f（-x）=-f（x），代入得，b=0
∴f"（x）=3ax²+c，且f（x）在x=1取得极大值2．
∴

f′(1)=0 f(1)=2

⇒

3a+c=0 a+c=2.

解得a=-1，c=3，
∴f（x）=-x³+3x
（2）∵g（x）=-x²+3+（k+1）lnx，
∴g′(x)=-2x+(k+1)

1

x

=

-2x2+(k+1)

x

因为函数定义域为（0，+∞），所以
①当，k=-1时，g"（x）=-2x＜0，函数在（0，+∞）上单调递减；
②当k＜-1时，k+1＜0，
∵x＞0，
∴g′(x)=

-2x2+(k+1)

x

＜0．可得函数在（0，+∞）上单调递减；
③k＞-1时，k+1＞0，令g"（x）＞0，得

-2x2+(k+1)

x

＞0，
∵x＞0，
∴-2x²+（k+1）＞0，得-

k+1 2

＜x＜

k+1 2

，结合x＞0，得0＜x＜

k+1 2

；
令g"（x）＜0，得

-2x2+(k+1)

x

＜0，同上得2x²＞（k+1），解得x＞

k+1 2

，
∴k＞-1时，单调递增区间为（0，

k+1 2

），单调递增区间为（

k+1 2

，+∞）
综上，当k≤-1时，函数的单调递减区间为（0，+∞），无单调递增区间；
当k＞-1时，函数的单调递增区间为（0，

k+1 2

），单调递减区间为（

k+1 2

，+∞）（包含

k+1 2

不扣分）
（3）当k=2时，g（x）=-x²+3+3lnx，
令h（x）=g（x）-（x+m）=-x²-x+3lnx+3-m，（11分）
h′(x)=-2x-1+

3

x

，
令h′（x）=0，

-2x2-x+3

x

=0，得x=1，x=-

3

2

（舍去）．
由函数y=h（x）定义域为（0，+∞），则当0＜x＜1时，h"（x）＞0，
当x＞1时h"（x）＜0，
∴当x=1时，函数h（x）取得最大值1-m．
由1-m＜0得m＞1
故m的取值范围是（1，+∞）．