已知函数f（x）=ex-kx，其中k∈R；
（Ⅰ）若k=e，试确定函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若k＞0，且对于任意x∈R，f（|x|）＞0恒成立，试确定实数k的取值范围；
（Ⅲ）求证：当k＞ln2-1且x＞0时，f（x）＞x2-3kx+1． |
（Ⅰ）由k=e得f（x）=ex-ex，所以f"（x）=ex-e．
由f"（x）＞0得x＞1，故f（x）的单调递增区间是（1，+∞），
由f"（x）＜0得x＜1，故f（x）的单调递减区间是（-∞，1）．
（Ⅱ）由f（|-x|）=f（|x|）可知f（|x|）是偶函数．
于是f（|x|）＞0对任意x∈R成立等价于f（x）＞0对任意x≥0成立．
由f"（x）=ex-k=0得x=lnk．
①当k∈（0，1]时，f"（x）=ex-k＞1-k≥0（x＞0）．
此时f（x）在[0，+∞）上单调递增．
故f（x）≥f（0）=1＞0，符合题意．
②当k∈（1，+∞）时，lnk＞0．
当x变化时f"（x），f（x）的变化情况如下表：
| x | （0，lnk） | lnk | （lnk，+∞） | | f"（x） | - | 0 | + | | f（x） | 单调递减 | 极小值 | 单调递增 |
核心考点
试题【已知函数f（x）=ex-kx，其中k∈R；（Ⅰ）若k=e，试确定函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若k＞0，且对于任意x∈R，f（|x|）＞0恒成立，试确定实数k的】；主要考察你对 函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。 [详细]举一反三
| 定义在[-2，2]上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）单调递减，若f（1-m）+f（m）＜0成立，求m的取值范为______． | 已知函数f（x）=agx，g（x）=lnx-lna，其中a为常数，函数y=f（x）在其图象和与坐标轴的交点处的切线为l1，函数y=g（x）在其图象与坐标轴的交点处的切线为l2，l1平行于l2．
（1）求函数y=g（x）的解析式；
（2）若关于x的不等式＞恒成立，求实数m的取值范围． | | 已知函数y=f（x）是偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f（x）=0 的所有实根之和是（ ） | 已知函数f(x)=-log2．
（1）求f（x）的定义域；
（2）讨论f（x）的奇偶性；
（3）证明f（x）在（0，1）内单调递减． | 已知函数f(x)=x+-a
（I） 若f（x）＞0对任意x∈（1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；（II）解关于x的不等式f（x）＞1． |
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