题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
2x-2 |
x+1 |
(I)当a=-1时,f(x)与g(x)在定义域上的单调性相反,求b的取值范围;
(II)设x1,x2是函数y=f(x)的两个零点,且x1<x2求证
2 |
x1+x2 |
答案
由题意可知,f(x)与g(x)的定义域均为(0,+∞)
∵g′(x)=
2(x+1)-(2x-2) |
(x+1)2 |
1 |
x |
4 |
(x+1)2 |
1 |
x |
-x2+2x-1 |
x(x+1)2 |
(x-1)2 |
x(x+1)2 |
∴g(x)在(0,+∞)上单调递减
又a=-1时,f(x)与g(x)在定义域上的单调性相反
∴f(x)=lnx-ax2-bx在(0,+∞)上单调递增
∴f′(x)=
1 |
x |
即b≤
1 |
x |
∴只需b≤(
1 |
x |
∵x>0∴
1 |
x |
2 |
| ||
2 |
∴b≤2
2 |
2 |
(II)由已知可得
|
∴
|
x1 |
x2 |
即ln
x1 |
x2 |
1 |
x1-x2 |
x1 |
x2 |
从而
2 |
x1+x2 |
2 |
x1+x2 |
1 |
x1-x2 |
x1 |
x2 |
=
1 |
x1-x2 |
2(x1-x2) |
x1+x2 |
x1 |
x2 |
=
1 |
x1-x2 |
2(
| ||
|
x1 |
x2 |
∵g(x)=
2x-2 |
x+1 |
x1 |
x2 |
∴当0<t<1时,g(t)>g(1)=0
∴
2(x1-x2) |
x1+x2 |
x1 |
x2 |
又
1 |
x1-x2 |
∴
2 |
x1+x2 |
2 |
x1+x2 |
即证.
核心考点
试题【已知函数f(x)=lnx-ax2-bx(a,b∈R),g(x)=2x-2x+1-lnx(I)当a=-1时,f(x)与g(x)在定义域上的单调性相反,求b的取值范】;主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]
举一反三
①f(x)=-5x,
②f(x)=x2,
③f(x)=sin2x,
④f(x)=(
1 |
2 |
⑤f(x)=xcosx
中,属于有界泛函的有______(填上所有正确的序号).
1 |
x |
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间和极值;
(Ⅱ)已知对任意的x>0,ax(2-lnx)≤1恒成立,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)是否存在实数a使得函数f(x)在[1,e]上最小值为0?若存在,试求出a的值;若不存在,请说明理由.
2 |
x |
1 |
y |
x-a |
x2+bx+1 |
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