题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
5 |
2 |
(I)求f(0)的值,并证明函数f(x)为偶函数;
(II)定义数列{an}:an=2f(n+1)-f(n)(n=1,2,3,…),求{an}的通项公式;
(III)若对于任意非零实数y,总有f(y)>2.证明:对于任意m,n∈N*,若m>n,则f(m•y)>f(n•y).
答案
∴f(1)•f(0)=f(1)+f(1)
∵f(1)=
5 |
2 |
∴f(0)=2(1分)
令x=0,
∴f(0)f(y)=f(y)+f(-y)即2f(y)=f(y)+f(-y)
∴f(y)=f(-y),对任意的实数y总成立.
∴f(x)为偶函数 (3分)
(II)令x=y=1,得 f(1)f(1)=f(2)+f(0).
∴
25 |
4 |
∴f(2)=
17 |
4 |
∴a1=2f(2)-f(1)=
17 |
2 |
5 |
2 |
令x=n+1,y=1,得f(n+1)f(1)=f(n+2)+f(n).
∴f(n+2)=
5 |
2 |
|
∴{an}是以6为首项,以2为公比的等比数列,
所以an=6•2n-1=3•2n(7分)
(III)证明:设y≠0,∵y≠0时,f(y)>2,
∴f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)>2f(x),即f(x+y)-f(x)>f(x)-f(x-y).
∴对于k∈N,总有f[(k+1)y]-f(ky)>f(ky)-f[(k-1)y]成立.
∴f[(k+1)y]-f(ky)>f(ky)-f[(k-1)y]>f[(k-1)y]-f[(k-2)y]>…>f(y)-f(0)>0
∴对于k∈N总有f[(k+1)y]>f(ky)成立.(11分)
核心考点
试题【已知定义在R上的函数f(x)满足:f(1)=52,且对于任意实数x,y,总有f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)成立.(I)求f(0)的值,并证明函数f】;主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]
举一反三
t |
3 |
1 |
2 |
(I)建立xn与an的关系式;
(II)证明:{logt(xn-1)+1}是等比数列;
(III)当Dn+1⊈Dn对一切n∈N+恒成立时,求t的范围.
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)求函数f(x)的极值.
5a-4 |
A.一定大于零 | B.一定小于零 |
C.等于零 | D.正负都有可能 |
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