题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)=(a-

1

2

)x2+Inx(a∈R)
（1）当a=0时，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若∃x∈[1，3]，使f（x）＜（x+1）Inx成立，求实数a的取值范围；
（3）若函数f（x）的图象在区间（1，+∞）内恒在直线y=2ax下方，求实数a的取值范围．

答案

显然函数f（x）的定义域为（0，+∞），
（1）当a=0时，f(x)=-

1

2

x2+lnx，f′(x)=-x+

1

x

=

-x2+1

x

；
由f"（x）＞0，结合定义域解得0＜x＜1，
∴f（x）的单调递增区间为（0，1）．
（2）将f（x）＜（x+1）lnx化简得(a-

1

2

)x2＜xlnx，∵x∈[1，3]∴有a＜

lnx

x

+

1

2

令g(x)=

lnx

x

+

1

2

，则g/(x)=

1-lnx

x2

，由g′（x）=0解得x=e．
当1≤x＜e时，g′（x）＞0；当e＜x≤3时，g′（x）＜0
故g(x)max=g(e)=

1

e

+

1

2

∴∃x∈[1，3]，使f（x）＜（x+1）lnx成立等价于a＜g(x)max=g(e)=

1

e

+

1

2

即a的取值范围为(-∞，

1

e

+

1

2

)
（3）令g(x)=f(x)-2ax=(a-

1

2

)x2-2ax+lnx，则g（x）的定义域为（0，+∞）．
在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方等价于g（x）＜0在区间（1，+∞）上恒成立．
∵g′(x)=(2a-1)x-2a+

1

x

=

(2a-1)x2-2ax+1

x

=

(x-1)[(2a-1)x-1]

x

①若a＞

1

2

，令g"（x）=0，得极值点x₁=1，x2=

1

2a-1

，
当x₂＞x₁=1，即

1

2

＜a＜1时，在（x₂，+∞）上有g"（x）＞0，
此时g（x）在区间（x₂，+∞）上是增函数，并且在该区间上有g（x）∈（g（x₂），+∞），不合题意；
当x₂＜x₁=1，即a≥1时，同理可知，g（x）在区间（1，+∞）上，有g（x）∈（g（1），+∞），也不合题意；
②若a≤

1

2

，则有2a-1≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有g"（x）＜0，
从而g（x）在区间（1，+∞）上是减函数；
要使g（x）＜0在此区间上恒成立，只须满足g(1)=-a-

1

2

≤0⇒a≥-

1

2

，
由此求得a的范围是[-

1

2

，

1

2

]．
综合①②可知，当a∈[-

1

2

，

1

2

]时，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方．