题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

设数列{a_n}满足a₁=0，且an+1=an+

1

4

+

1+4an

2

．  
（Ⅰ）求a₂的值；
（Ⅱ）设

1 4 +an

=bn，试判断数列{b_n}是否为等差数列？并求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）设g(n)=

1

bn+1

+

1

bn+2

+

1

bn+3

+…+

1

b2n

，且g（n）≥m（m∈R）对任意n＞1，n∈N^*都成立，求m的最大值．

答案

（Ⅰ）∵a₁=0，且a_n+1=a_n+

1

4

+

1+4an

2

，
∴a₂=

1

4

+

1

2

=

3

4

．
（Ⅱ）∵

1 4 +an

=bn，
∴a_n=b_n²-

1

4

，代入an+1=an+

1

4

+

1+4an 2

得到：

b

2n+1

=(bn+

1

2

)2，
∵b_n＞0，
∴b_n+1-b_n=

1

2

，所以数列{bn}是以b1=

1

2

为首项，公差为

1

2

的等差数列．b_n=

1

2

+(n-1)•

1

2

=

1

2

n．即数列{bn}的通项公式为bn=

1

2

n．
（Ⅲ）要使g（n）≥m（m∈R）对任意n＞1，n∈N^*都成立，只须m≤[g（n）_min].

∵g(n)= 1 bn+1 + 1 bn+2 + 1 bn+3 +…+ 1 b2n =2( 1 n+1 + 1 n+2 + 1 n+3 +…+ 1 2n )

，∴g(n+1)-g(n)=2(

1

2n+1

+

1

2n+2

-

1

n+1

)=

1

(2n+1)•(n+1)

＞0，∴g（n）是增的，
∴[g(n)]min=g(2)=2•(

1

3

+

1

4

)=

7

6

，
∴m的最大值为

7

6

．