题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知f是直角坐标平面xOy到自身的一个映射，点P在映射f下的象为点Q，记作Q=f（P）．
设P₁（x₁，y₁），P₂=f（P₁），P₃=f（P₂），…，P_n=f（P_n-1），…．如果存在一个圆，使所有的点P_n（x_n，y_n）（n∈N^*）都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点P_n（x_n，y_n）的一个收敛圆．特别地，当P₁=f（P₁）时，则称点P₁为映射f下的不动点．
（Ⅰ） 若点P（x，y）在映射f下的象为点Q（2x，1-y）．
①求映射f下不动点的坐标；
②若P₁的坐标为（1，2），判断点P_n（x_n，y_n）（n∈N^*）是否存在一个半径为3的收敛圆，并说明理由．
（Ⅱ） 若点P（x，y）在映射f下的象为点Q(

x+y

2

+1，

x-y

2

)，P₁（2，3）．求证：点P_n（x_n，y_n）（n∈N^*）存在一个半径为

5

的收敛圆．

答案

（Ⅰ）①设不动点的坐标为P₀（x₀，y₀），
 由题意，得

x0=2x0 y0=1-y0

，解得x0=0， y0=

1

2

，
所以映射f下不动点为P0(0， 

1

2

)
②结论：点P_n（x_n，y_n）不存在一个半径为3的收敛圆．
  证明：由P₁（1，2），得P₂（2，-1），P₃（4，2），P₄（8，-1），
   所以|P₁P₄|=

58

＞6，
   则点P₁，P₄不可能在同 一个半径为3的圆内，
   所以点P_n（x_n，y_n）（n∈N^*） 不存在一个半径为3的收敛圆
 （Ⅱ）证明：由P₁（2，3），得P2(

7

2

，-

1

2

)．
由P_n+1=f（P_n），得

xn+1= xn+yn 2 +1 yn+1= xn-yn 2

所以x_n+1+y_n+1=x_n+1，x_n+1-y_n+1=y_n+1，
   由P_n+2=f（P_n+1），得

xn+2= xn+1+yn+1 2 +1 yn+2= xn+1-yn+1 2

，
  所以x_n+2=

1

2

xn+

3

2

， yn+2=

1

2

yn+

1

2

  即x_n+2-3=

1

2

(xn-3)， yn+2-1=

1

2

(yn-1)，
  由x₁-3≠0，x₂-3≠0，得x_n-3≠0，
同理y_n-1≠0，
  所以

xn+2-3

xn-3

=

1

2

， 

yn+2-1

yn-1

=

1

2

，
  所以数列{x_2n-1-3}，{x_2n-3}（n∈N^*）都是公比为

1

2

的等比数列，首项分别为   x1-3=-1， x2-3=

1

2

，
  所以x2n-1-3=-(

1

2

)n-1， x2n-3=

1

2

×(

1

2

)n-1，
 同理可得y2n-1-1=2×(

1

2

)n-1， y2n-1=-

3

2

×(

1

2

)n-1
 所以对任意n∈N^*，|x_n-3|≤1，|y_n-1|≤2，
 设A（3，1），则|AP_n|=

(xn-3)2+(yn-1)2

≤

1+4

，
  所以|AP_n|≤

5

，
 故所有的点P_n（n∈N^*）都在以A（3，1）为圆心，

5

为半径的圆内或圆上，
  即点P_n（x_n，y_n）存在一个半径为

5

的收敛圆