题目

题型：填空题难度：一般来源：扬州三模

（填空题压轴题：考查函数的性质，字母运算等） 
设函数f（x）的定义域为D，如果存在正实数k，使对任意x∈D，都有x+k∈D，且f（x+k）＞f（x）恒成立，则称函数f（x）为D上的“k型增函数”．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=|x-a|-2a，若f（x）为R上的“2011型增函数”，则实数a的取值范围是______．

答案

∵f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=|x-a|-2a，
∴f(x)=

|x-a|-2a   x＞0 -|x+a|+2a ，x＜0

又f（x）为R上的“2011型增函数”，
当x＞0时，由定义有|x+2011-a|-2a＞|x-a|-2a，即|x+2011-a|＞|x-a|，其几何意义为到点a小于到点a-2011的距离，由于x＞0故可知a+a-2011＜0得a＜

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当x＜0时，分两类研究，若x+2011＜0，则有-|x+2011+a|+2a＞-|x+a|+2a，即|x+a|＞|x+2011+a|，其几何意义表示到点-a的距离小于到点-a-2011的距离，由于x＜0，故可得-a-a-2011＞0，得a＜

2011

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；若x+2011＞0，则有|x+2011-a|-2a＞-|x+a|+2a，即|x+a|+|x+2011-a|＞4a，其几何意义表示到到点-a的距离与到点a-2011的距离的和大于4a，当a≤0时，显然成立，当a＞0时，由于|x+a|+|x+2011+a|≥|-a-a+2011|=|2a-2011|，故有|2a-2011|＞4a，必有2011-2a＞4a，解得a＜

2011

6

  综上，对x∈R都成立的实数a的取值范围是 a＜

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故答案为：a＜

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