已知f（x）是定义在R上的函数，且满足：f（x+2）[1-f（x）]=1+f（x），f（1）=1997，求f（2001）的值． - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知f（x）是定义在R上的函数，且满足：f（x+2）[1-f（x）]=1+f（x），f（1）=1997，求f（2001）的值．

答案

∵f（x+2）[1-f（x）]=1+f（x），f（x）≠1，
∴f（x+2）=

1+f(x)

1-f(x)

，
f（x+4）=

1+f(x)

1-f(x)

1+f(x)

1-f(x)

f(x)

．
所以f（x+8）=-

f(x+4)

=f(x)．
所以f（x）是以8为周期的周期函数，
∵f（1）=1997，2001=8×250+1，
∴f（2001）=f（1）=1997．

核心考点

试题【已知f（x）是定义在R上的函数，且满足：f（x+2）[1-f（x）]=1+f（x），f（1）=1997，求f（2001）的值．】；主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]

举一反三

设对所有实数x，不等式x2log2

4(a+1)

+2xlog2

a+1

+log2

(a+1)2

4a2

＞0恒成立，则a的取值范围为______．

题型：填空题难度：一般| 查看答案

设函数fn(x)=xn+bx+c(n∈N*，b，c∈R)．
（1）当n=2，b=1，c=-1时，求函数f_n（x）在区间(

，1)内的零点；
（2）设n≥2，b=1，c=-1，证明：f_n（x）在区间(

，1)内存在唯一的零点；
（3）设n=2，若对任意x₁，x₂∈[-1，1]，有|f₂（x₁）-f₂（x₂）|≤4，求b的取值范围．

题型：解答题难度：一般| 查看答案

若对于定义在R上的函数f（x），其图象是连续不断的，且存在常数λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）=0对任意实数x都成立，则称f（x）是一个“λ-伴随函数”．有下列关于“λ-伴随函数”的结论：
①f（x）=0 是常数函数中唯一个“λ-伴随函数”；
②f（x）=x不是“λ-伴随函数”；
③f（x）=x²是一个“λ-伴随函数”；
④“

-伴随函数”至少有一个零点．
其中不正确的序号是______（填上所有不正确的结论序号）．

题型：填空题难度：一般| 查看答案

函数f（x）=log₂（1+x），g（x）=log₂（1-x），则f（x）-g（x）是（　　）

A．奇函数

B．偶函数

C．既不是奇函数又不是偶函数

D．既是奇函数又是偶函数

题型：单选题难度：简单| 查看答案

定义在R上的函数f（x），如果存在函数g（x）=kx+b（k，b为常数），使得f（x）≥g（x）对一切实数x都成立，则称g（x）为函数f（x）的一个承托函数．
现有如下函数：
①f（x）=x³；
②f（x）=2^-x；
③f(x)=

lgx，x＞0

0，x≤0

；
④f（x）=x+sinx．
则存在承托函数的f（x）的序号为______．（填入满足题意的所有序号）

题型：填空题难度：一般| 查看答案

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