题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分7分）
如图，已知抛物线y₁=-x²+bx+c经过A(1,0)，B(0,-2)两点，顶点为D．

小题1:（1）求抛物线y₁ 的解析式；
小题2:（2）将△AOB绕点A逆时针旋转90°后，得到△AO′ B′ ，将抛物线y₁沿对称轴平移后经过点B′ ，写出平移后所得的抛物线y₂ 的解析式；
小题3:（3）设（2）的抛物线y₂与轴的交点为B₁，顶点为D₁，若点M在抛物线y₂上，且满足△MBB₁的面积是△MDD₁面积的2倍，求点M的坐标．

答案

小题1:解：(1)已知抛物线y₁=-x²+bx+c经过点A(1,0)， B(0,-2)，       
∴    解得
∴所求抛物线的解析式为y₁=-x² +3x-2
小题2:（2）解法1：∵ A(1,0)，B(0,-2)， ∴ OA=1,OB=2．
由旋转性质可得O′A=OA=1，O′B′=OB=2．
∴ B′ 点的坐标为(3，-1) ．
∵ 抛物线y₁的顶点D (,)，且抛物线y₂ 是由y₁沿对称轴平移后得到的，
∴ 可设y₂ 的解析式为y₂=" -" (x -)² +k ．
∵ y₂经过点B′，∴ - (3 -)² +k= -1．解得k=．
∴ y₂=" -" (x -)² +．…………………………………………………………… 4′
解法2：同解法1 得B′ 点的坐标为 (3，-1) ．
∵ 当x=3时，由y₁=-x² +3x-2得y=-2，可知抛物线y₁过点(3，-2) ．
∴ 将抛物线y₁沿y轴向上平移1个单位后过点B′．
∴ 平移后的抛物线y₂的解析式为：y₂=-x² +3x-1
小题3:（3）∵ y₁=-x²+3x-2 = -(x-)² +，y₂=-x² +3x-1= -(x-)² +，
∴ 顶点D(,)，D₁(,)．∴ DD₁=1．
又B₁(0，-2)，B₁(0，-1)，∴BB₁=1．
设M点坐标为(m，n) ，
∵ BB₁=DD₁，由，
可知当m≤0时，符合条件的M点不存在；…………………………………… 5′
而当0<m<时，有m=2(-m)，解得m=1；
当m>时，有m="2(m" -)，解得m=3．
当m=1时，n=1；当m=3时，n=-1．
∴M₁(1,1)，M₂(3,-1)．

解析

略