题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
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(1)若对一切x∈(0,+∞),有不等式f(x)≥2x•g(x)-x2+5x-3恒成立,求实数a的取值范围;
(2)记G(x)=
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ex |
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ex |
答案
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∵x>0,故上式可化为a≤2lnx+
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x |
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x |
记t(x)=2lnx+
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x |
x2+2x-3 |
x2 |
令t′(x)=0,得x=1,
∵x>0,∴在(0,1)上,t′(x)<0,在(1,+∞)上,t′(x)>0,
∴t(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.
故当x=1时,t(x)有最小值为4,故a≤4,
∴实数a的取值范围是a∈(-∞,4];
(2)化简得,G(x)=lnx,则原不等式可化为lnx>
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ex |
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x |
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记F(x)=xlnx,则F"(x)=lnx+1,
当0<x<
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故当x=
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记H(x)=
x |
ex |
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1-x |
ex |
当0<x<1时,H"(x)>0,H(x)递增;当x>1时,H"(x)<0,H(x)递减;
故当x=1时,H(x)取得极大值,也为最大值,其最大值为H(1)=-
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e |
由函数F(x)的最小值与函数H(x)的最大值不能同时取到,
故x∈(0,+∞)时,F(x)>H(x),故原不等式成立.
核心考点
试题【已知函数f(x)=x3-ax,g(x)=12x2-lnx-52(1)若对一切x∈(0,+∞),有不等式f(x)≥2x•g(x)-x2+5x-3恒成立,求实数a的】;主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]
举一反三
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b |
x |
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