题目
题型:解答题难度:简单来源:不详
(1)证明:函数y=f(x)是R上的减函数;
(2)证明:函数y=f(x)是奇函数;
(3)试求函数y=f(x)在[m,n](m,n∈Z)上的值域.
答案
解析
∵x2-x1>0,∴f(x2-x1)<0.∴f(x2)=f(x1)+f(x2-x1)<f(x1).
故f(x)是R上的减函数.
(2)证明 ∵f(a+b)=f(a)+f(b)恒成立,∴可令a=-b=x,则有f(x)+f(-x)=f(0),
又令a=b=0,则有f(0)=f(0)+f(0),∴f(0)=0.从而x∈R,f(x)+f(-x)=0,
∴f(-x)=-f(x).故y=f(x)是奇函数.
(3)解 由于y=f(x)是R上的单调递减函数,
∴y=f(x)在[m,n]上也是减函数,故f(x)在[m,n]上的最大值f(x)max=f(m),最小值f(x)min=f(n).
由于f(n)=f(1+(n-1))=f(1)+f(n-1)=…=nf(1),同理f(m)=mf(1).
又f(3)=3f(1)=-3,∴f(1)=-1,∴f(m)="-m," f(n)=-n.
∴函数y=f(x)在[m,n]上的值域为[-n,-m].
核心考点
试题【已知函数y=f(x)的定义域为R,且对任意a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b),且当x>0时,f(x)<0恒成立,f(3)="-3." (1)证明:】;主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)试判断f(x)的奇偶性;
(2)若-≤a≤,求f(x)的最小值.
(1)求f(x)的定义域;
(2)讨论f(x)的奇偶性;
(3)证明:f(x)>0.
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