题目

题型：解答题难度：困难来源：广东省模拟题

已知函数f(x)=ax²+bx+c（a≠0）满足f(0)=0，对于任意x∈R都有f(x)≥x，且f(+x)=f(-x)，令g(x)=f(x)-|λx-1|（λ＞0）。
(1)求函数f(x)的表达式；
(2)求函数g(x)的单调区间；
(3)研究函数g(x)在区间（0，1）上的零点个数。

答案

解：（1）∵f(0)=0，
∴c=0，
∵对于任意x∈R都有，
∴函数f(x)的对称轴为，即，得a=b，
又f(x)≥x，即对于任意x∈R都成立，
∴a＞0，且，　　　　
∵，
∴b=1，a=1，　　　　
∴。
（2），
①当时，函数的对称轴为，
若，即0＜λ≤2，函数g(x)在上单调递增；
若，即λ＞2，函数g(x)在上单调递增，在上单调递减；
②当时，函数的对称轴为，　
则函数g(x)在上单调递增，在上单调递减；
综上所述，当0＜λ≤2时，函数g(x)单调递增区间为，单调递减区间为； 
当时，函数g(x)单调递增区间为和，单调递减区间为和．
（3）①当0＜λ≤2时，由(2)知函数g(x)在区间（0，1）上单调递增，　　　　　
又，　　　　　
故函数g(x)在区间（0，1）上只有一个零点；
②当λ＞2时，则，而，　　　　
，
（ⅰ）若2＜λ≤3，由于，
且，
此时，函数g(x)在区间（0，1）上只有一个零点；
（ⅱ）若λ＞3，由于且＜0，
此时，函数g(x)在区间（0，1）上有两个不同的零点；
综上所述，当0＜λ≤3时，函数g(x)在区间（0，1）上只有一个零点；当λ＞3时，函数g(x)在区间（0，1）上有两个不同的零点．