题目

题型：解答题难度：一般来源：专项题

已知函数f（x）=（x>0）。
（1）试确定函数f（x）的单调区间，并证明你的结论；
（2）若x₁≥1，x₂≥1，证明：|f（x₁）-f（x₂）|＜1。

答案

解：（1）函数f（x）在区间（0，1]上是增函数，在区间 [1，+∞）上是减函数
设0＜x₁＜x₂
则

∵
同理
又
∴
①当时，
即
∴
∴函数f（x）在区间（0，1]上是增函数；
②当时，
即
∴
∴函数f（x）在区间（0，1]上是减函数
综上所述函数f（x）在区间（0，1]上是增函数，在区间[1，+∞）上是减函数。
（2）由（1）可知，函数f（x）在区间[1，+∞）上是减函数
∵
∴
f（x₂）≤f（1）=1，
又f（x）=
∴
即得0＜f（x₁）≤1，0＜f（x₂）≤1，
∴0＜f（x₁）≤1，-1≤-f（x₂）＜0，
∴-1＜f（x₁）-f（x₂）＜1，
∴|f（x₁）-f（x₂）|＜1。