题目
题型:解答题难度:一般来源:宣威市模拟
(1)判断函数f(x)的奇偶性;
(2)求函数f(x)在区间[-3,3]上的最大值;
(3)解关于x的不等式f(ax2)-2f(x)<f(ax)+4.
答案
取y=-x,则f(x-x)=f(x)+f(-x)∴f(-x)=-f(x)对任意x∈R恒成立∴f(x)为奇函数.…3′
(2)任取x1,x2∈(-∞,+∞)且x1<x2,则x2-x1>0,∴f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0,…4′
∴f(x2)<-f(-x1),
又f(x)为奇函数∴f(x1)>f(x2)
∴f(x)在(-∞,+∞)上是减函数.∴对任意x∈[-3,3],恒有f(x)≤f(-3)…6′
而f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=3f(1)=-2×3=-6,
∴f(-3)=-f(3)=6,∴f(x)在[-3,3]上的最大值为6…8′
(3)∵f(x)为奇函数,∴整理原式得 f(ax2)+f(-2x)<f(ax)+f(-2),
进一步得f(ax2-2x)<f(ax-2),
而f(x)在(-∞,+∞)上是减函数,
∴ax2-2x>ax-2…10′∴(ax-2)(x-1)>0.
∴当a=0时,x∈(-∞,1)
当a=2时,x∈{x|x≠1且x∈R}
当a<0时,x∈{x|
2 |
a |
当0<a<2时,x∈{x|x>
2 |
a |
当a>2时,x∈{x|x<
2 |
a |
核心考点
试题【已知函数f(x)对任意实数x,y恒有f(x+y)=f(x)+f(y)且当x>0,f(x)<0.又f(1)=-2.(1)判断函数f(x)的奇偶性;(2)求函数f(】;主要考察你对函数的单调性与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
5 |
2 |
①若f(-1)=f(1),则f(x)是偶函数;
②若f(-1)<f(1),则f(x)在区间[-2,2]上不是减函数;
③若f(-1)•f(1)<0,则方程f(x)=0在区间(-1,1)内至少有一个实根;
④若|f(x)|=|f(-x)|,x∈R,则f(x)是奇函数或偶函数.
其中正确结论的序号是 ______(填上所有正确结论的序号)
(1)求证:f(x)为奇函数;
(2)求证:f(x)是R上的减函数;
(3)求f(x)在[-2,4]上的最值.
(Ⅰ)设a=1,b=2,若h (x)为偶函数,求h(
2 |
(Ⅱ)设b>0,若h (x)同时也是g(x)、l(x)在R上生成的一个函数,求a+b的最小值;
(Ⅲ)试判断h(x)能否为任意的一个二次函数,并证明你的结论.
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