题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

f（x）是定义在R上的函数，对x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，f（-1）=2．
（1）求证：f（x）为奇函数；
（2）求证：f（x）是R上的减函数；
（3）求f（x）在[-2，4]上的最值．

答案

证明：（1）f（x）的定义域为R，
令x=y=0，则f（0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0，
令y=-x，则f（x-x）=f（x）+f（-x），∴f（-x）+f（x）=f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）是奇函数．
（2）设x₂＞x₁，
则f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁），
∵x₂-x₁＞0，∴f（x₂-x₁）＜0，
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，即f（x₂）＜f（x₁），
∴f（x）在R上为减函数．
（3）∵f（-1）=2，∴f（-2）=f（-1）+f（-1）=4，
又f（x）为奇函数，∴f（2）=-f（-2）=-4，
∴f（4）=f（2）+f（2）=-8，
∵f（x）在[-2，4]上为减函数，
∴f（x）_max=f（-2）=4，f（x）_min=f（4）=-8．