题目
题型:填空题难度:一般来源:不详
答案
∵g(x)为R上的奇函数,∴g(-x)=-g(x)
∵g(x)=f(x-1)
⇒g(-x)=f(-x-1)
⇒-g(x)=f(-x-1)
⇒g(x)=-f(-x-1)
∴f(x-1)=-f(-x-1)
令-x-1=t,则:x=-t-1
∴f(-t-2)=-f(t)…(1)
再令-t-2=u,则-u=t+2
而偶函数f(x)满足f(u)=f(-u)
即,f(-t-2)=f(t+2)…(2)
由(1)(2)得到:f(-t-2)=-f(t)=f(t+2)
∴f(t+2)=-f(t)…(3)
∴f[(t+2)+2]=-f(t+2)=-[-f(t)]=f(t)
即,f(t+4)=f(t)
∴偶函数f(x)也是以4为周期的周期函数
f(2007)=f(3+4×501)=f(3)
f(2008)=f(0+4×502)=f(0)
由(3)得到,f(3)=-f(1)
∴f(2007)+f(2008)=f(3)+f(0)=-f(1)+f(0)
而,g(x)=f(x-1)
令x=0,那么:g(0)=f(0-1)=f(-1)=f(1)
所以,-f(1)=0
令x=1,那么:g(1)=f(1-1)=f(0)
所以,f(2007)+f(2008)=-g(0)+g(1)
因为在R上的奇函数g(x)必定满足:g(-x)=-g(x)
即,g(x)+g(-x)=0
所以,g(0)+g(-0)=0
则,g(0)=0
已知g(x)过点(-1,3),即:g(-1)=3
所以:g(1)=-g(-1)=-3
综上:f(2007)+f(2008)=-3
故答案为-3.
核心考点
试题【已知f(x)是定义在R上的偶函数,定义在R上的奇函数g(x)过点(-1,3)且g(x)=f(x-1),则f(2007)+f(2008)=______.】;主要考察你对函数的单调性与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
1 |
2 |
|
π |
3 |
|
f(x1)-f(x2) |
x1-x2 |
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