题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)=xm-

2

x

，且f(4)=

7

2

．
（1）求m的值；
（2）判定f（x）的奇偶性；
（3）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明．

答案

（1）因为f(4)=

7

2

，所以4m-

2

4

=

7

2

，所以m=1．
（2）因为f（x）的定义域为{x|x≠0}，又f(-x)=-x-

2

-x

=-(x-

2

x

)=-f(x)，
所以f（x）是奇函数．
（3）任取x₁＞x₂＞0，则f(x1)-f(x2)=x1-

2

x1

-(x2-

2

x2

)=(x1-x2)(1+

2

x1x2

)，
因为x₁＞x₂＞0，所以x1-x2＞0，1+

2

x1x2

＞0，所以f（x₁）＞f（x₂），
所以f（x）在（0，+∞）上为单调增函数．