题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=x+

a

x

（a＞0）．
（I）判断函数f（x）的奇偶性并证明；
（II）若a=4，证明：函数f（x）在区间（2，+∞）上是增函数．

答案

（I）因为函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称，
又f(-x)=-x+

a

-x

=-(x+

a

x

)=-f(x)，
所以函数f（x）是奇函数．
（II）当a=4时，f(x)=x+

4

x

，
设x₁，x₂是区间（2，+∞）上的任意两个变量，且2＜x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=x1+

4

x1

-x2-

4

x2

=

(x1-x2)(x1x2-4)

x1x2

，
因为2＜x₁＜x₂，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以函数f（x）在区间（2，+∞）上是增函数．