题目

题型：上海难度：来源：

已知z是复数，z+2i，

z

2-i

均为实数（i为虚数单位），且复数（z+ai）²在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．

答案

设复数z=a+bi（a，b∈R），
由题意得z+2i=a+bi+2i=a+（b+2）i∈R，
∴b+2=0，即b=-2．
又∵

z

2-i

=

(a+bi)(2+i)

5

=

2a-b

5

+

2b+a

5

i∈R，
∴2b+a=0，即a=-2b=4．∴z=4-2i．
∵（z+ai）²=（4-2i+ai）²=[4+（a-2）i]²=16-（a-2）²+8（a-2）i
对应的点在复平面的第一象限，横标和纵标都大于0，
∴

16-(a-2)2＞0 8(a-2)＞0

解得a的取值范围为2＜a＜6．