题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）对任意x，y∈R总有f（x）+f（y）=f（x+y）且当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-

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（1）求证：f（x）+f（-x）=0
（2）求证：函数f（x）是R上的减函数；
（3）求f（X）在[-3，3]上的最大值和最小值．

答案

（1）证明：∵f（x+y）=f（x）+f（y）
∴令x=y=0 有f （0 ）=0
令y=-x 有：0=f（0）=f（x+（-x））=f（x）+f（-x）
（2）证明：设x₂＞x₁则x₂-x₁＞0
∵当x＞0时，f（x）＜0
∴f（x₂-x₁）＜0
∴f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]=f（x₂-x₁）+f（x₁）＜f（x₁）
∴函数f（x）是R上的减函数
（3）由（2）可得f（x）在[-3，3]上单调递减，且f（1）=-

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当x=3时函数有最小值，f（3）=f（1）+f（2）=3f（1）=-2
当x=-3时函数有最大值，f（-3）=-f（3）=2
从而可得函数的最值为2，最小值为-2．