题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=x³+2x-sinx（x∈R）．
（Ⅰ）证明：函数f（x）是R上单调递增函数；
（Ⅱ）解关于x的不等式f（x²-a）+f（x-ax）＜0．

答案

证明：（I）∵f（x）=x³+2x-sinx
∴f′（x）=3x²+2-cosx=3x²+（2-cosx）
∵3x²≥0，2-cosx＞0恒成立，
故f′（x）＞0，
故函数f（x）是R上单调递增函数；
（Ⅱ）∵f（-x）=（-x）³+2（-x）-sin（-x）=-（x³+2x-sinx）=-f（x）
函数f（x）是奇函数
原不等式可化为f（x²-a）＜-f（x-ax）=f（ax-x）
由（1）可得x²-a＜ax-x，即x²+（1-a）x-a＜0，
即（x+1）（x-a）＜0，
当a＜-1时，原不等式的解析为（a，-1）
当a=-1时，原不等式的解析为∅
当a＞-1时，原不等式的解析为（-1，a）